Retournement de la sphère

En 1957, un jeune mathématicien, Stephen Smale, devenu depuis Médaille Fields, la plus haute récompense mathématique, présentait à son patron Raoul Bott un résultat sur les déformations de sphères. Au premier examen, Raoul Bott refusa d'admettre le théorème que Smale avait démontré.

Plus sensible que son étudiant aux conséquences géométriques des énoncés abstraits, il ne fut pas long à remarquer que si Stephen Smale avait raison, il serait possible en suivant des règles strictes, de retourner une sphère comme une peau de lapin de façon à échanger ses faces interne et externe (cela sans quitter l'espace à trois dimensions, car si l'on s'autorise à passer par la quatrième dimension, cela est très facile... pour le mathématicien.)

Hélas la preuve énoncée par Stephen Smale était non constructive, c'est-à-dire qu'il avait démontré que la solution existait, mais il ne savait pas la construire.Ce genre de " preuve " est fréquente en mathématique et particulièrement frustrante.

Si Stephen Smale avait raison, comment pouvait-on répondre à l'irritante question de Bott : " Montre moi comment cela est possible! " Il fallait " illustrer " le retournement de la sphère. Imaginer une sphère dont l'extérieur est peint en bleu et l'intérieur en rouge : il faut inverser ces deux couleurs.

Les règles du jeu mathématique définies par Stephen Smale étaient à la fois délicates et sévères : on pouvait transformer la surface en la repliant sur elle-même et en lui permettant de s'autotraverser comme les anneaux magiques des illusionnistes. La solution fut découverte par un géomètre américain, Arnold Schapiro, mais en des termes trop vagues pour qu'il l'estime publiable. Il put toutefois l'expliquer à d'autres mathématiciens, comme Anthony Phillips et Bernard Morin qui ont su expliciter la solution. Cette solution consiste, comme on a pu le voir dans le film, à déformer la sphère de départ par une série de transformations pour constituer une surface à deux feuillets, puis comme la surface peut s'autotraverser, à intervertir les deux feuillets, et à revenir en sens inverse en parcourant la première série de transformations à l'envers.

Le revêtement à deux feuillets est une surface de Boy, du nom du mathématicien Werner Boy qui l'a inventée en 1901 dans un autre contexte et qui était un élève de Hilbert.

La version du retournement de la sphère présentée dans " Inversion " est un fait d'armes informatique : il a fallu trente ans pour l'obtenir. Elle présente la version imaginée par le géomètre français Bernard Morin. Bernard Morin est aveugle.

http://archives.arte.tv/hebdo/archimed/plus/archimede000919.htm